2.2.1 한 모비율에 대한 추정

• 표본 \(X\)가 \(B(n,p)\) 에서의 랜덤표본이라 하자.
• 모비율 \(p\)의 추정량으로는 표본비율 \(\hat{p} = X/n\)을 사용할 수 있다.
• \(X\)가 근사적으로 정규분포 \(N(np, npq)\)를 따르므로 표본비율 \(\hat{p}\)는 근사적으로 정규분포 \(N(p, pq/n)\)을 따른다.
• 따라서 모비율 \(\hat{p}\)에 대한 추론으로 다음의 사실을 사용할 수 있다.

\[Z = \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}}\approx \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \mathrel{\dot{\sim}}N(0,1)\]

2.2.2 두 모비율의 차에 대한 추정

• 표본 \(X_1\), \(X_2\)가 각각 \(B(n_1, p_1),~B(n_2, p_2)\) 에서의 랜덤표본이라 하자.
• 두 모비율의 차 \(p_1 - p_2\)의 추정량으로는 두 표본비율의 차 \(\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = \dfrac{X_1}{n_1} - \dfrac{X_2}{n_2}\)를 사용할 수 있다.
• 이때, 정규분포의 성질에 의해 다음이 성립한다.

\[Z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)- (p_1 - p_2)}{\sqrt{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)/n_1 + \hat{p}_2(1-\hat{p}_2)/n_2}}\approx \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)- (p_1 - p_2)}{\sqrt{p_1(1-p_1)/n_1 + p_2(1-p_2)/n_2}} \mathrel{\dot{\sim}}N(0,1)\]

2.3.1 한 모비율에 대한 검정

• 표본 \(X\)가 \(B(n,p)\) 에서의 랜덤표본이라 하자.

• 모비율에 대한 귀무가설 \(H_0:~ p = p_0\)에 대한 표본비율을 이용한 검정은 다음과 같이 실시한다.

• 검정통계량 : \(Z=\dfrac{\hat{p}-p}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}}\)

• 대립가설에 따른 기각역과 검정통계량 \(z_0\)에 대한 유의확률 계산 :

2.3.2 두 모비율의 차에 대한 검정

• 표본 \(X_1\), \(X_2\)가 각각 \(B(n_1, p_1),~B(n_2, p_2)\) 에서의 랜덤표본이라 하자.

• 두 모비율의 차에 대한 귀무가설 \(H_0:~ p_1 - p_2 = p_0\)에 대한 표본비율을 이용한 검정은 다음과 같이 실시한다.

• 검정통계량 : \(Z=\frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)- p_0}{\sqrt{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)/n_1 + \hat{p}_2(1-\hat{p}_2)/n_2}}\)

• 대립가설에 따른 기각역과 검정통계량 \(z_0\)에 대한 유의확률 계산 :

• \(p_0=0\)일 때는 다음과 같이 합동표본비율 \(\hat{p} = \frac{X_1 +X_2}{n_1+n_2}\)을 이용해 검정을 실시할 수도 있다.

• 검정통계량 : \(Z=\frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/n_1 + 1/n_2)}}\)

• 대립가설에 따른 기각역과 검정통계량 \(z_0\)에 대한 유의확률 계산 :

3.1.1 동질성 검정

• 동질성 검정이란 “각 모집단이 동질한지 아닌지”를 검정하는 것이다.
• 각 \(i=1,2,\cdots,r\)에 대해 \(n_i = O_{i \cdot}\)라 했을 때, 다항분포를 이용해 \((O_{i1}, \cdots, O_{ic}) \sim Multi(n_i, p_i = (p_{i1}, \cdots, p_{ic}))\) 와 같이 나타낼 수 있다.
• 동질성 검정의 가설은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[H_0:~p_1 = p_2 = \cdots =p_r, \quad H_1:~\text{not }H_0\]

• 동질성 검정은 검정통계량 \[\chi^2 = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^c \frac{(O_{ij} - \hat{E}_{ij})^2}{\hat{E}_{ij}}, ~\hat{E_{ij}} = \frac{O_{i\cdot} ~ O_{\cdot j}}{n}\] 을 이용해 실시한다.
• 다음이 성립함이 알려져 있다. \[\chi^2 \mathrel{\dot{\sim}}\chi^2((r-1)(c-1)), \quad \text{under }H_0 \]
• 기각역은 \(\chi^2 \geq \chi^2_\alpha((r-1)(c-1))\)을 사용한다.
• 유의확률은 \(\prob{Z \geq \chi^2 | Z \sim \chi^2((r-1)(c-1))}\)을 사용한다.
• R에서 동질성 검정은 chisq.test() 함수를 통해 실시할 수 있다.

3.1.2 예제

• 성별에 따라 국어, 수학, 영어 세 과목의 선호도가 다른가를 조사하고자 한다.
• 남학생 250명과 여학생 250명에 대한 설문조사를 통해 가장 좋아하는 한 과목을 택하게 하여 분류한 결과가 다음과 같다고 하자.

• 남학생과 여학생에 따른 과목의 선호도가 다르다고 할 수 있는지 유의수준 5%에서 검정해보자.

male <- c(36, 85, 29)
female <- c(53, 35, 62)
x <- rbind(male, female)
chisq.test(x)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  x
## X-squared = 36.048, df = 2, p-value = 1.487e-08

• 유의수준이 매우 작기 때문에 귀무가설을 기각할 수 있다.

• 즉, 남학생과 여학생에 따른 과목의 선호도가 다르다고 할 만한 충분한 근거가 있다 말할 수 있다.

• 다음과 같이 동질성 검정을 실시하는 my_chisq_test() 함수를 직접 만들 수 있다.

my_chisq_test <- function(data){
  N = sum(data)
  r = nrow(data)
  c = ncol(data)
  expt = matrix(0, r, c)
  for(i in 1:r){
    for(j in 1:c){
      expt[i, j] <- sum(data[i, ])*sum(data[, j]) / N
    }
  }
  test_stat <- sum((data-expt)^2/expt)
  df = (r-1)*(c-1)
  p.value <- pchisq(test_stat,df,lower.tail=F)
  return(list(statistic = test_stat, df = df, 
              p.value = p.value))
}
my_chisq_test(x)

## $statistic
## [1] 36.04756
## 
## $df
## [1] 2
## 
## $p.value
## [1] 1.48721e-08

3.2.1 독립성 검정

• 독립성 검정이란 “모집단의 각 인자가 독립인지 아닌지”를 검정하는 것이다.
• 다항분포를 이용해 \((O_{11}, \cdots, O_{1c}, \cdots, O_{21}, \cdots, O_{rc}) \sim Multi(n, p = (p_{i1}, \cdots, p_{ic}, \cdots, p_{21}, \cdots p_{rc}))\) 와 같이 나타낼 수 있다.
• 독립성 검정의 가설은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[H_0:~ p_{ij} = p_{i\cdot}~ p_{j\cdot}~ (i=1,2,\cdots,r, ~j = 1,2,\cdots, c), \quad H_1:~\text{not }H_0\]

• 독립성 검정은 검정통계량 \[\chi^2 = \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^c \frac{(O_{ij} - \hat{E}_{ij})^2}{\hat{E}_{ij}}, ~\hat{E_{ij}} = \frac{O_{i\cdot} ~ O_{\cdot j}}{n}\] 을 이용해 실시한다.
• 다음이 성립함이 알려져 있다. \[\chi^2 \mathrel{\dot{\sim}}\chi^2((r-1)(c-1)), \quad \text{under }H_0 \]
• 기각역은 \(\chi^2 \geq \chi^2_\alpha((r-1)(c-1))\)을 사용한다.
• 유의확률은 \(\prob{Z \geq \chi^2 | Z \sim \chi^2((r-1)(c-1))}\)을 사용한다.
• R에서 독립성 검정은 chisq.test() 함수를 통해 실시할 수 있다.

3.2.2 예제

• 이번에는 성별과 과목의 선호도가 독립인지 아닌지를 조사하고자 한다.
• 남학생 250명과 여학생 250명에 대한 설문조사를 통해 가장 좋아하는 한 과목을 택하게 하여 분류한 결과가 다음과 같았다.

• 유의수준 5%에서 검정해보자.

male <- c(36, 85, 29)
female <- c(53, 35, 62)
x <- rbind(male, female)
chisq.test(x)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  x
## X-squared = 36.048, df = 2, p-value = 1.487e-08

• 유의수준이 매우 작기 때문에 귀무가설을 기각할 수 있다.
• 즉, 성별과 과목의 선호도가 독립이 아니라고 할 만한 충분한 근거가 있다 말할 수 있다.

3.2.3 주의

• 언뜻 보기에 동질성 검정과 독립성 검정은 서로 같은 검정을 하는 것처럼 보인다.

성별에 따른 과목의 선호도는 차이가 없다 vs 성별과 과목의 선호도는 독립이다

• 그러나, 위의 두 문장에는 큰 차이가 있다.
• 앞의 문장에서는 각 표본의 모집단이 특정 성별의 학생들이고, 뒤의 문장에서는 각 표본의 모집단이 동일하다는 것이 가정되어있다.
• 실제 위의 검정들을 유도하는 것은 서로 다른 가정에서, 다른 계산을 통해 이루어진다.

4.2.1 경영대 학생 비율 추정

• 이 수업에서의 경영대 학생 비율을 이용해 전체 통계학실험 강좌의 경영대 학생 비율을 추정해보자.
• R에서 분할표는 table() 함수를 사용해 계산할 수 있다.

coll_table <- table(lec_df$college)
p_m <- coll_table[1] / sum(coll_table)
p_m

##    경영대 
## 0.6060606

• 약 60% 정도이다.
• 경영대 학생이 전체 통계학실험에서 60% 정도의 비율을 차지고 있다고 말할 수 있다.

무엇이 잘못되었을까?

sampling이 잘 되지 않았다.

4.2.2 동질성 검정

• 경영대와 공대의 A형 혈액형 학생의 비율에 차이가 있는지를 검정해보자.
• 자유도가 낮을 때는 연속성 수정을 실시하기에 correct=F 를 사용하여 꺼주자.

collbl_table <- table(lec_df[,1:2])
collbl_table

##         blood
## college  A AB B O
##   경영대 5  6 4 5
##   공대   4  1 2 3
##   기타   1  0 1 1

embl_table <- data.frame(A = c(5, 4),
                         nA = c(15, 6))
rownames(embl_table) <- c("M", "E")
embl_table

chisq.test(embl_table, correct = F)

## Warning in chisq.test(embl_table, correct = F): Chi-squared approximation
## may be incorrect

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  embl_table
## X-squared = 0.71429, df = 1, p-value = 0.398

• 학생 비율에 차이가 있다고 말할 수 없다.

동질성 검정? 두 모비율의 차에 대한 검정?

• 두 모비율의 차에 대한 검정을 진행해보자.
• prop.test() 함수를 사용하면 된다.

prop.test(as.matrix(embl_table), alternative = "two.sided", correct = F)

## Warning in prop.test(as.matrix(embl_table), alternative = "two.sided",
## correct = F): Chi-squared approximation may be incorrect

## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity
##  correction
## 
## data:  as.matrix(embl_table)
## X-squared = 0.71429, df = 1, p-value = 0.398
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  -0.5080624  0.2080624
## sample estimates:
## prop 1 prop 2 
##   0.25   0.40

• 또는 다음과 같이 수작업으로 실시할 수 있다.

## manually
n_m <- sum(embl_table[1,])
n_e <- sum(embl_table[2,])
p_m <- embl_table[1, 1]/n_m
p_e <- embl_table[2, 1]/n_e
p_tot <- sum(embl_table[,1])/sum(embl_table)
sdme <- sqrt(p_tot * (1-p_tot) * (1/n_e + 1/n_m))
z <- (p_m - p_e) / sdme
z^2

## [1] 0.7142857

• 동질성 검정과 같은 결과를 주고 있다는 것을 확인할 수 있다.
• 실제로 통계량을 제곱하면 동질성 검정의 그것과 같다.

4.2.3 독립성 검정

• 탕수육을 먹는 방식과 소속 단과대가 독립인지 아닌지를 검정해보자.

chisq.test(table(lec_df[,2:3]), correct = F)

## Warning in chisq.test(table(lec_df[, 2:3]), correct = F): Chi-squared
## approximation may be incorrect

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  table(lec_df[, 2:3])
## X-squared = 0.059441, df = 3, p-value = 0.9962

• 독립이 아니라고 할 만한 충분한 근거가 없다.